有限数学示例

$y = x^{3} + 4$

解题步骤 1

交换变量。

$x = y^{3} + 4$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $y^{3} + 4 = x$ 。

$y^{3} + 4 = x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$y^{3} = x - 4$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{x - 4}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$ 是否为 $f (x) = x^{3} + 4$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{3} + 4)$ 。

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = \sqrt[3]{(x^{3} + 4) - 4}$

解题步骤 4.2.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

解题步骤 4.2.4

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{x - 4})$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(\sqrt[3]{x - 4})}^{3} + 4$

解题步骤 4.3.3

将 ${\sqrt[3]{x - 4}}^{3}$ 重写为 $x - 4$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 4}$ 重写成 ${(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 4$

解题步骤 4.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 4$

解题步骤 4.3.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{3}{3}} + 4$

解题步骤 4.3.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{3}{3}} + 4$

解题步骤 4.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = (x - 4) + 4$

解题步骤 4.3.3.5

化简。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = x - 4 + 4$

解题步骤 4.3.4

合并 $x - 4 + 4$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$ 为 $f (x) = x^{3} + 4$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$

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